Cấp số cộng cấp số nhân là gì? Định nghĩa, tính chất và bài tập

7 Tháng Tư, 2021 122 Nguyễn Tiến Thành

Logo sieusach

Cấp số cộng và cấp số nhân là nội dung toán học quan trọng cần nắm rõ của lớp 11. Trong bài viết này chúng tôi sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức về cấp số cộng, cấp số nhân và các dạng bài tập để giúp các bạn có thể nắm rõ nền tảng kiến thức này. 
Cấp số cộng và cấp số nhân

Cấp số cộng và cấp số nhân

Cấp số cộng là gì? 

Khái niệm cấp số cộng 

Trong toán học, cấp số cộng là khái niệm được dùng để chỉ một dãy số thỏa mãn điều kiện số đứng sau bằng tổng của số đứng trước nó với một số không đổi. Số không đổi này được gọi là công sai. Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. 

Ví dụ: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23… 

Định nghĩa cấp số cộng:

Un là cấp số cộng nếu: un + 1 = un + d

Trong đó: 

  • nN
  • d là công sai = un + 1 – un

Số hạng tổng quát

Chúng ta có thể tính được số hạng tổng quát thông qua số hạng đầu và công sai:

  • un = u1 + (n – 1)d, (trong đó n2)

Ví dụ: 

Cho cấp số cộng (un) biết được u1 = -1 và  d = 3. Hãy tìm u20?

Ta có: 

u20 = u1 + (20 – 1)d

       = u1 + 19d

       = -1 + 19×3

       =65

Tìm hiểu về cấp số cộng

Tìm hiểu về cấp số cộng

Tính chất cấp số cộng

Trong đó: k2 hay uk+1+uk-1=2uk

Ví du: 

Cho 3 số lần lượt là 9; x; 13 hãy lập một cấp số cộng và tìm X

Ta có; 

x= 9+132= 11

Như vậy ra có x = 11 và cấp số cộng là 9, 11, 13

Tổng n số hạng đầu

Ví dụ: 

Cho cấp số cộng (un)thỏa mãn: u1=-1, d=3. hãy thực hiện tính S20

Ta có; 

S20=20u1+20.(20-12).d

       = 20.(-1) + 20.192. 3

       = 550

Cấp số nhân là gì? 

Khái niệm cấp số nhân

Trong toán học cấp số nhân được hiểu là một dãy số thỏa mãn điều kiện đó là từ số thứ 2 của dãy số đó đều là tích của số đứng trước nó với 1 số không đổi. Số không đổi này được gọi là công bội của cấp số nhân. 

Định nghĩa cấp số nhân

  • unlà cấp số nhân tương đương với un+1=un.q, trong đó n∈N
  • q là công bội và bằng: 

ví dụ: Cho cấp số nhân (un). Trong đó u1= 5; q = 3. Thực hiện tính u2.

Ta có: 

u2= qu1=3 . 5=15

Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là gì?

Số hạng tổng quát

Để tính số hạng tổng quát chúng ta áp dụng công thức sau: 

un =u1. qn-1, trong đó n2

Ví dụ: Ta có cấp số nhân (un). Trong đó u1= 5; q = 3. Thực hiện tính u5

Ta có: u5=u1q4 =5.34=405

Tính chất của cấp số nhân 

Ví dụ: 

Cho cấp 4 số lần lượt là x; 5; 25; y. Theo thứ tự như vậy các bạn hãy tiến hành lập một cấp số nhân và thực hiện tìm x, y. 

Ta có: 

52= x . 25 ⇔ x = 1

252 = 5y ⇔ y = 125

Như vậy chúng ta có cấp số nhân là 1, 5, 25, 125 

Tổng n số hạng đầu

Ví dụ: 

Cho cấp số nhân (un)với u1= 5 và q= 3. Thực hiện tính S10.

Ta có: 

S10=u1(1-q10)1-q

       = 5.(1-310)1-3

       = 5(310-1)2

Bài tập luyện tập về cấp số cộng cấp số nhân

Bài tập về cấp số cộng

Bài 1: Hãy tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết được rằng:

  • Tổng của chúng bằng 20. 
  • Tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Lời giải:

Chúng ta giả sử 4 số hạng đó lần lượt là: a-3x, a-x, a+x, a+3x. Công sai là d = 2x. Lúc này ta có:

Như vậy bốn số chúng ta cần tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8

Các bài tập về cấp số cộng

Các bài tập về cấp số cộng

Bài tập 2: Cho cấp số cộng sau

  1. Hãy thực hiện tính số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên
  2. Thực hiện tính tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng
  3. Tính S = u4+u5+u5+ … +U30

Lời giải:

Từ giải thiết đề bài đưa ra chúng ta có: 

  1. Thực hiện tìm thứ hạng 100 của cấp số cộng trên ta có:

 u100=u1+99d= -295

  1. Tổng của 15 số hạng đầu cấp số cộng:

 

  1. Tính S = u4+u5+u5+ … +U30

Ta có: 

Bài 3: Cho cấp số cộng 

  1. Thực hiện xác định công sai, công thức tổng quát cấp số
  2. Tính S = u1 +u4+u7+…+u2011

Lời giải: 

Ta gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có: 

  1. Ta có công sai của cấp số cộng trên là d=3; số hạng tổng quát là: un=u1+(n-1)d=3n-2
  2. Từ đề bài ta có các số hạng u1, u4,u7 ,…,u2011lập thành một cấp số cộng bao gồm 670 số hạng và có công sai d’ = 3d. Do đó ta có: 

Bài tập về cấp số nhân

Bài tập về cấp số nhân

Bài tập về cấp số nhân

Bài tập 1: Cho cấp số nhân (un)có các số hạng khác 0 hãy tìm u1biết:

Lời giải:

Ta có: 

Như vậy ta tìm được u1=1, u1=8

Bài tập 2: Cho cấp số nhân sau:

  1. Hãy tìm 5 số hạng đầu của cấp số nhân trên
  2. Thực hiện tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân

Lời giải:

Gọi q là bội của cấp số. Theo giải thiết chúng ta có:

  1. Năm số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là 

u1=2, u2=23, u3=29, u4=27, u5=281

  1. Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên:

Trên đây là những chia sẻ của chúng tôi về cấp số cộng cấp số nhân với các bạn. Hy vọng thông qua bài viết các bạn đã biết được cấp số cộng là gì? Cấp số nhân là gì? Cũng như cách giải các bài toán cấp số cộng và cấp số nhân. 

Xem thêm:

Bài viết liên quan