Đường trung trực là gì? Định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập

Đường trung trực là kiến thức hình học vô cùng quan trọng và thường hay xuất hiện trong bài kiểm tra, bài thi. Vậy đường trung trực là gì? Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu chi tiết về định nghĩa, tính chất và bài tập áp dụng trong bài viết này nhé.

Đường trung trực là gì?

Đường trung trực chính là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng ấy.

Đường trung trực của đoạn thẳng AB là d

Cách vẽ đường trung trực chuẩn xác

Cách 1: Cho đoạn thẳng AB. Để vẽ được đường trung trực d của đoạn thẳng AB thì chúng ta cần thực hiện theo các bước sau đây:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB rồi xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB cách đều 2 điểm A và B.

– Bước 2: Các bạn kẻ một đường thẳng d sao cho nó vuông góc với đoạn thẳng AB tại điểm M.

Như vậy, ta có đường thẳng d chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Cách 2: Vẽ đoạn thẳng AB. Sau đó, các bạn dùng compa vẽ hai đường tròn tâm A và tâm B có bán kính bằng nhau và lớn hơn nửa độ dài đoạn AB. Hai đường tròn này giao nhau tại hai điểm M và N. Tiếp theo, các bạn kẻ đường thẳng MN, là đường trung trực của đoạn thẳng AB đã cho.

MN là đường trung trực của đoạn AB

Cách vẽ này áp dụng tính chất đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường tròn có bán kính bằng nhau là đường trung trực của đoạn thẳng nối tâm của 2 đường tròn.

Để chứng minh, ta có:

Hai cung tròn tâm A và B có bán kính bằng nhau và cắt nhau tại 2 điểm M, N nên ta có:

– AM = BM

– AN = BN

⇒ M và N cách đều hai điểm A, B của đoạn thẳng AB.

Theo định lí 2 (được trình bày bên dưới) thì M và N thuộc đường trung trực của AB hay đường thẳng đi qua M và N chính là đường trung trực của AB. Vậy thì MN chính là đường trung trực của AB.

Tính chất của đường trung trực

Đường trung trực xuất hiện rất nhiều trong bài tập toán hình học. Sau khi hiểu rõ định lý đường trung trực là gì ở bên trên, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các tính chất của đường này.

Đường trung trực của một đoạn thẳng

Tính chất đường trung trực d của đoạn thẳng AB

Định lý 1: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì sẽ cách đều hai mút của chính đoạn thẳng đó.

Giả sử: d là đường trung trực của đoạn AB, M ∈ d

=> MA = MB

Định lí 2: Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì luôn nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Giả sử: Chứng minh được MA = MB thì => M thuộc đường trung trực của đoạn AB

Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

3 đường trung trực trong tam giác

3 đường trung trực tam giác giao nhau tại tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Gọi điểm O là giao điểm 3 đường trung trực của ΔABC.

=> Ta có OA = OB = OC.

Vậy điểm O chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔABC.

Đường trung trực của tam giác cân

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy sẽ là đường phân giác, đường cao và đường trung tuyến cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Tính chất đường trung trực tam giác cân

Đường trung trực tam giác vuông

Trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực ứng với các cạnh chính là trung điểm của cạnh huyền.

Cho tam giác ABC vuông tại B. Khi đó, giao điểm của ba đường trung trực sẽ là trung điểm E của cạnh huyền AC.

Tính chất của đường trung trực trong tam giác vuông

Các dạng toán về đường trung trực thường gặp

Với các thông tin bên trên, chắc chắn các bạn đã hiểu rõ đường trung trực là gì rồi đúng không nào? Tiếp theo chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về các dạng toán thường hay gặp phải khi làm bài tập nhé.

Dạng 1: Chứng minh về đường trung trực của một đoạn thẳng

Phương pháp: Để chứng minh được dạng toán này thì các bạn cần phải chứng minh đường trung trực đó có chứa hai điểm cách đều 2 mút của đoạn thẳng đó. Giả sử: Đường thẳng d chứa hai điểm cách đều 2 mút A và B hoặc dùng định nghĩa của đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh cho hai đoạn thẳng bằng nhau

Phương pháp: Để chứng minh được dạng toán này thì các bạn cần sử dụng định lý: “Điểm nằm ở bên trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì sẽ cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.”

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 2 cạnh AB và AC. Vẽ đường trung trực của các cạnh AB, AC cắt cạnh BC lần lượt tại D và E. Hai tam giác ABD và AEC là tam giác gì?

Hướng dẫn giải:

Vì DM là đường trung trực của cạnh AB nên ta có DA = DB

=> Δ ADB cân tại đỉnh D.

Vì EN là đường trung trực của cạnh AC nên ta có EA = EC

=> Δ AEC cân tại đỉnh E.

Dạng 3: Bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất

Phương pháp: Để giải dạng toán về giá trị nhỏ nhất thì các bạn cần phải sử dụng tính chất của đường trung trực để thay độ dài của một đoạn thẳng thành độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó hay sử dụng bất đẳng thức tam giác nào để tìm giá trị nhỏ nhất (tổng hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn cạnh còn lại; hiệu hai cạnh bất kỳ luôn nhỏ hơn cạnh còn lại)

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Phương pháp: Để xác định được tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác thì các bạn cần sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực trong tam giác đó.

Định lý: Ba đường trung trực trong một tam giác sẽ cùng đi qua một điểm và điểm này luôn cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Giao điểm của 3 đường trung trực là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Dạng 5: Bài toán liên quan đến đường trung trực của tam giác cân

Phương pháp: Để giải được dạng toán liên quan đến đường trung trực của tam giác cân thì các bạn cần dựa vào tính chất: “trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy sẽ là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Ví dụ: Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung cạnh đáy BC. Hãy chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng với nhau.

Hướng dẫn giải:

– Vì ΔABC cân tại đỉnh A nên ta có: AB = AC ⇒ A thuộc đường trung trực của cạnh BC.

– Vì ΔDBC cân tại đỉnh D nên ta có: DB = DC ⇒ D thuộc đường trung trực của cạnh BC.

– Vì ΔEBC cân tại đỉnh E nên ta có EB = EC ⇒ E thuộc đường trung trực của cạnh BC.

Do đó các điểm A, D, E cùng thuộc đường trung trực của cạnh BC nên A, D, E thẳng hàng với nhau (điều phải chứng minh).

Dạng 6: Bài toán liên quan đến đường trung trực của tam giác vuông

Phương pháp: Để giải được bài toán liên quan đến đường trung trực của tam giác vuông thì các bạn cần chú ý đến tính chất sau: “Trong tam giác vuông, giao điểm của các đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền.”

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh B, có AB = 6cm, BC = 8cm. Gọi E là giao điểm của ba đường trung trực từ 3 cạnh của tam giác ABC. Tính độ dài khoảng cách từ điểm E đến ba đỉnh của tam giác ABC?

Hướng dẫn giải:

Vì E là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC nên ta có:

EA = EB = EC

Mà Δ ABC vuông tại đỉnh B nên E là trung điểm của cạnh AC

Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC ta thu được:

AC² = AB² + BC² = 6² + 8² = 100

=> AC = 10 cm

=> EA = EB = EC = AC / 2 = 5 cm

Bài tập áp dụng đường trung trực

Sau khi tìm hiểu rõ đường trung trực là gì, tính chất và các dạng bài tập hay gặp phải, chúng ta sẽ cùng làm bài tập để củng cố kiến thức cho chắc chắn nhé.

Bài tập 1: Cho ΔABC có cạnh AC > AB, tia phân giác AD. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE bằng AB. Hãy chứng minh rằng AD vuông góc với BE.

Hình minh họa ví dụ 3

Lời giải:

Nối BE và ED.

Xét ΔADB và ΔADE ta có:

– AD cạnh chung

– Góc BAD = góc EAD (AD chính là tia phân giác của góc BAC)

– AB = AE (theo giả thiết)

=> ΔADB = ΔADE (TH: cạnh – góc – cạnh)

Suy ra: DB = DE

Lại có: AB = AE (theo giả thiết)

=> AD chính là đường trung trực của cạnh BE hay AD vuông góc với BE.

Bài tập 2:
Cho Δ ABC, AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho CM =AB. Vẽ đường trung trực của AC, cắt đường phân giác của góc A tại điểm O. Chứng minh rằng O nằm trên đường trung trực của BM.

Giải:

Bài tập 3: Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAB và HAC cắt BC lần lượt tại M và N. Các đường phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại O. Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

Giải:

Muốn chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp Δ AMN, ta phải chứng minh O là giao điểm các đường trung trực của các cạnh AM và AN.

Cụ thể:

Bài tập 4:  Cho ΔABC vuông tại A, đường trung tuyến BM. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại D. Vẽ điểm E sao cho M là trung điểm của DE, chứng minh rằng AE vuông vóc BM.

Giải:

Hy vọng bài viết này mang đến những thông tin hữu ích để các bạn hiểu rõ đường trung trực là gì? Các dạng bài tập thường hay gặp và cách giải. Qua đó làm bài tập kiểm tra, bài thi đặt được điểm cao.

Tuyentb